Reprezentace čísel a základní dvojkové aritmetické operace v počítači

Binární čísla se znaménkem

Přímý kód

Kladné číslo se od záporného liší pouze hodnotou nejvyššího bitu (0 – kladná čísla, 1 – záporná čísla)

• $X=x$ pro $x$ z intervalu $<0,2^{n-1}-2^{-m}>$

• $X=2^{n-1}-x$ pro $x$ z intervalu $<-(2^{n-1}-2^{-m}),0>$

Příklad převodu:

• $n=8$ bitů, $m=0$ (mám 8 bitů, ale první je znaménkový, proto je interval do $2^7$)
• $X=x$ pro $x$ z intervalu $<0,127>$

• $X=128-x$ pro $x$ z intervalu $<-127,0>$

  $x = 28$	$X = x = 28$	$00011100$
  $x = -28$	$X = 128 -(-28) = 156$	$10011100$

Doplňkový kód

Číslo s opačným znaménkem se získá inverzí hodnot všech bitů a aritmetickým přičtením 1 k nejnižšímu bitu

• $X = x$ pro $x$ z intervalu $<0,2^{n-1}-2^{-m}>$

• $X = 2^{n} + x$ pro $x$ z intervalu $<-2^{n-1},-2^{-m}>$

Příklad převodu:

• $n = 8$ bitů, $m = 0$
• $X = x$ pro $x$ z intervalu $<0,127>$

• $X = 256$ pro $x$ z intervalu $<-128, -1>$

  $x = 28$	$X = x = 28$	$00011100$
  $x = -28$	$X = 256 + (-28) = 228$	$11100100$

Kód transformované nuly

Číslo s opačným znaménkem se prakticky získá z čísla v doplňkovém kódu změnou hodnoty nejvyššího bitu.

Obvykle se používá pro zobrazení čísel v pohyblivé řádové čárce.

$X=2^{n-1}+x$ pro $x$ z intervalu $<-2^{n-1},2^{n-1}-2^{-m}>$

Příklad převodu:

• $n = 8$ bitů, $m = 0$

• $X = 128 + x$ pro $x$ z intervalu $<-128, 127>$

  $x = 28$	$X = 128 + 28 = 156$	$10011100$
  $x = -28$	$X = 128 + (-28) = 100$	$01100100$

Informací o znaménku čísla ve všech uvedených kódech nese nejvyšší bit – znaménkový. Všechny ostatní bity jsou významové.

Základní aritmetické operace

Sčítání

 0101 5   1001  9
+0100 4  +1010 10
-------   -------
 1001 9  10011 19
         ^
         Přetečení

Odčítání

Podobné jako sčítání, ale pokud od 0 odečteme 1, výsledek je 1 a musíme odečíst 1 (vypůjčit si) i ze sloupečku vlevo.

 1001 9
−0101 5
-------
 0100 4

Násobení

Délka výsledku násobení dvou binárních čísel nelze jednoduše odhadnout – výsledek se ukládá do dvojnásobně velkého prostoru.

   1011
  ×1010
  -----
   0000
  1011
 0000
1011
-------
1101110

Pevná řádová čárka

V tomto zobrazení definujeme místa před a místa za řádovou čárkou. Dnes už se pro desetinná čísla téměř nepoužívá. Na klasická celá čísla se dá pohlížet jako na čísla s pevnou řádovou čárkou a 0 místy za čárkou.

Plovoucí řádová čárka

S – znaménko

E – exponent – celé číslo, vyjadřuje řád

M – mantisa – reálné číslo, vyjadřuje hodnotu

B – základ – 2

Příklad:

Toto číslo by se na 14 bitů u FX nikdy nevešlo. Problém je s malými čísly ⇒ použije se lichý nebo sudý posuv. Zavede se BIAS (posunutí)

Standard IEEE 754

Ukládá binární čísla v plovoucí desetinné čárce na 32 bitech (jednoduchá přesnost) nebo 64 bitech (dvojitá přesnost). Dané číslo je rozděleno na základ a exponent. Nejlevější bit je vždy znaménkový, následuje 8 bitů pro exponent a zbylých 23 je základ. Na 64 bitech je rozdělení 1, 11, 52.